EN ESTADÍSTICA: PROBABILIDAD

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD

EXPERIMENTO ALEATORIO: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.

ESPACIO MUESTRAL: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

PUNTO MUESTRAL O SUCESO ELEMENTAL: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral.

SUCESO O EVENTO: cualquier subconjunto de puntos muéstrales.

SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultáneamente.

SUCESOS COMPLEMENTARIOS: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral.

SUCESOS INDEPENDIENTES: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro.

SUCESOS DEPENDIENTES: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.

EJEMPLO: Se lanza un dado.

a) Encontrar el espacio muestral. Solución: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) Enumerar los puntos muéstrales. Solución: Hay seis puntos muéstrales: {1}, {2},{3},{4},{5} y {6}.

c) Poner dos ejemplos de eventos. Solución: evento A = {resultado es impar} = {1, 3, 5}; evento B = {resultado es mayor que 2} = {3, 4, 5, 6}

d) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A = {resultado menor o igual a 4}, B = {resultado es primo}. Solución: A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 5} sí tienen dos puntos en común, 2 y 3. Por lo tanto, no son mutuamente excluyentes.

e) ¿Cuál suceso es complementario a M = {2, 6}? Solución: {1, 3, 4, 5}.

f) ¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos? A = {obtener un 2 en el primer lanzamiento}, B = {obtener un 4 en el segundo lanzamiento}. Solución: Son independientes, porque obtener o no un 2 en el primer lanzamiento no afecta el resultado del segundo lanzamiento.

EXPERIMENTO ALEATORIO: Es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada experiencia particular. (Ej: Lanzamiento de un dado).

ESPACIO MUESTRAL: (denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, junto con una estructura sobre el mismo (ver más adelante).

Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio muestral es el conjunto cara, cara, cara, cruz, cruz, cara y cruz, cruz. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral con estructura de σ-álgebra, llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o cara, cara, cara, cruz, estaría formado por los sucesos elementales cara, cara y cara, cruz.

DIFERENCIA DE PROBABILIDAD CLASICA, FRECUENCIAL Y AXIOMÁTICA.

PROBABILIDAD CLASICA

Es el número de resultados favorables a la presentación de un evento dividido entre el número total de resultados posibles.

PROBABILIDAD FRECUENCIAL

En este caso la probabilidad de un suceso A se define como el límite de una frecuencia relativa, cuando el experimento se realiza un número infinito de veces.

PROBABILIDAD AXIOMATICA

Se define como una función de conjunto, que llamaremos P, cuyo dominio es el s-álgebra de Boole y cuyo recorrido es el intervalo cerrado [0,1] si además satisface los tresaxiomas siguientes (axiomas de Kolmogorov):

1) Axioma de no negatividad. P(A) ‡ 0, para todo A˛A.

2) Axioma de certeza. P (E) =1.

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE PROBABILIDAD

TEOREMA 1.

Si f es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero.

P (f)=0

TEOREMA 2.

La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 – p(A)

Si el espacio muestral d, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego d=A È A c, por tanto p(d)=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p(d)=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .

TEOREMA 3.

Si un evento A Ì B, entonces la p(A) £ p(B).

Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=A È(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)³0 entonces se cumple que p(A)£p(B).

PROBABILIDAD CONDICIONAL INDEPENDIENTE Y DEPENDIENTES DE

EVENTOS

EVENTOS INDEPENDIENTES 

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo. 

Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro. 

Por definición, A es independiente de B si y sólo si: A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si: A es independiente de B si y sólo si:

(PnA)=P(A)P(B)

EVENTOS DEPENDIENTES 

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado.

La expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción. 

P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)
Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

Probabilidad Condicional 

Si A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota: A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota:
P(AlB).

TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD TOTAL

Para hallar la probabilidad total si podemos hacemos un "diagrama en

árbol". En el diagrama siguiente queremos saber la probabilidad total de obtener el suceso B (ramas rojas).

Para hallarla debemos coger todas las "ramas" que nos lleven a B y sumarlas.

TEOREMA DE BAYES

El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai.

A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido.

Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.

Ejemplo: Si seleccionamos una persona al azar, la probabilidad de que sea diabética es 0,03. Obviamente la probabilidad de que no lo sea es 0,97.
Si no disponemos de información adicional nada más podemos decir, pero supongamos que al realizar un análisis de sangre los niveles de glucosa son superiores a 1.000 mg/l, lo que ocurre en el 95% de los diabéticos y sólo en un 2% de las personas sanas.

¿Cuál será ahora la probabilidad de que esa persona sea diabética?

La respuesta que nos da el teorema de bayes es que esa información adicional hace que la probabilidad sea ahora 0,595.

Vemos así que la información proporcionada por el análisis de sangre hace pasar, la probabilidad inicial de padecer diabetes de 0,03, a 0,595.
Evidentemente si la prueba del análisis de sangre hubiese sido negativa, esta información modificaría las probabilidades en sentido contrario. En este caso la probabilidad de padecer diabetes se reduciría a 0,0016.